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科学网一种节点组重要性排序方法

一种节点组重要性排序方法

陆君安(武汉大学)  慧(华中科技大学)

网络科学中关于节点重要性排序方法很多,譬如节点度(degree),中心度(K-shell)即核数(coreness),介数(betweenness),H-index,还有 Page-Rank等等。可是关于节点组(或者社团)的重要性排序方法几乎没有什么研究,事实上节点组重要性排序问题在现实中广泛存在。节点组重要性排序针对的不是单个节点,而是若干个节点组成的团和组。一批乒乓球运动员中如何组织双打队(节点数为2的节点组排序),是不是一定由单打冠亚军(单个节点排序的第一二名)组成的双打最强?一根水平樑如何选择两个(或者若干个)基点将它吊起?两块相同形状的材料加固时如何选择若干个加固点的位置进行加固?这样的问题在实际中常常遇见, 应对的方法一般是凭经验或者一些特殊办法。而我们通过研究提出了一个基于牵制控制的节点组重要性排序的一般方法,有数学理论的保证和算法的实现。这一方法的理论依据是我们最近发表在IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS: SYSTEMS上的文章Optimizing Pinning Control of Complex Dynamical Networks Based on Spectral Properties of Grounded Laplacian Matrices,作者:刘慧(华中科技大学),徐宣宏(华中科技大学),陆君安(武汉大学),陈关荣(香港城市大学),曾志刚(华中科技大学)[1]   

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我们发现复杂网络牵制控制与节点组重要性排序这个问题紧密联系,最重要的节点组完全由网络Laplacian主子矩阵的最小特征值决定。大规模复杂网络牵制控制的方法,是指只需要控制其中的一部分节点便能够控制整个大规模网络选择牵制控制节点(组)的关键是受控Laplacian矩阵删后主子矩阵最小特征值,就是将Laplacian矩阵删掉牵制控制节点(组)对应的行和列之后剩下的子矩阵(the grounded Laplacian matrix obtained by deleting the rows and columns corresponding to the pinned nodes from the Laplacian matrix of the network)的最小特征值,这也是牵制控制的关键,如果节点(组)对应的主子矩阵最小特征值越大则这样的节点(组)越重要,于是主子矩阵最小特征值也成为节点(组)重要性的指标找出对全局具有牵一发而动全身作用的节点(组),控制这样的节点(组)能够用最小的代价达到整体的最佳效果,这样的节点(组)就是系统最重要的节点(组)。

看一个十分简单的例子。由5个节点组成的链,见图2,如何选择一个最重要的节点呢?第一步写出链的Laplacian矩阵L,按照删后主子矩阵最小特征值定义计算节点1(或者5)对应的最小特征值为0.1206, 节点2(或者4)对应的最小特征值为0.1981, 节点3对应的最小特征值为0.3820,因此这5个节点的链最重要的节点为3,其次为24,最后为15

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